Логотип Парус Инвестора
Парусник
Цена деления цифровой шкалы
Справочник

Опционы и Фьючерсы

А. Н. Балабушкин
Май 2004 года
Материал предоставлен Фондовой биржей РТС


ГЛАВА 3. МОДЕЛЬ РЫНОЧНЫХ УСЛОВИЙ

3.1. НЕПРЕРЫВНО НАЧИСЛЯЕМАЯ ПРОЦЕНТНАЯ СТАВКА

При выводе формулы для теоретической стоимости опционов необходимо задаться какой-то количественной моделью тех условий, в которых совершаются операции с опционами. При этом неизбежно приходится делать ряд упрощающих предположений. Одно из ключевых связано с процентными ставками и состоит в следующем. Вводится понятие безрисковой процентной ставки, единой для всех участников торгов и одинаковой как для привлечения, так и для размещения средств. Кроме того, считается, что временная структура процентных ставок удовлетворяет условию: если Ri = R(Ti) - годовые процентные ставки для некоторого набора периодов Ti < 1 (время в долях года), выраженные в виде простого процента, то существует единая величина r такая, что


erTi = 1 + RiTi ,       (3.1)
для всех i. Из этого следует, в частности, что если для некоторого периода T задана процентная ставка R = R(T), то для любого кратного периода Tn = Tn процентная ставка Rn = R(Tn) однозначно определяется по правилу сложных процентов:


enrT = (erT)n = (1 + RT)n = 1 + RnTn = erTn .
Можно также сказать, что при расчете эффективной годовой процентной ставки Reff по формуле сложных процентов на основании заданных простых процентных ставок Ri = R(Ti) всегда получается одинаковый результат: Reff = er - 1. Это предположение, с одной стороны, не лишено оснований и по крайней мере приближенно часто выполняется; с другой, позволяет отвлечься от вопросов, связанных с «короткими» и «длинными» деньгами, поскольку специфические вопросы, связанные с опционами, сами по себе достаточно сложны.

Геометрический смысл параметра r , который называется непрерывно начисляемой процентной ставкой (continuously compounded interest rate), показан на рис. 3.1. Здесь для наглядности параметр r рассчитывается для 6-месячной процентной ставки R = 200% и оказывается равен r = 140%. Экспонента ert подобрана так, чтобы пройти через точку A на прямой 1 + Rt, а прямая 1 + rt - касательная к этой экспоненте в нуле. Смысл непрерывно начисляемой процентной ставки сводится к тому, что для малых T (на практике для одного дня, а в пределе для бесконечно малых T ) величина r дает простой годовой процент, а для больших периодов по предположению рост денежных средств удовлетворяет формуле сложных процентов, то есть происходит непрерывная капитализация дохода. Экспоненциальная форма представления сложных процентов удобна с математической точки зрения и широко используется в теоретических выкладках при определении стоимости опциона. Также записываются и окончательные результаты. Интересно, однако, что эти выражения (по крайней мере те из них, которые будут встречаться ниже) всегда содержат параметр r в готовых комбинациях erT и e-rT, которые при расчетах можно просто заменить соответственно на правую часть (3.1) и


e-rT = 1/(1 + RT).       (3.2)

Непрерывно начисляемый процент для 6-месячной ставки R=200%

Рис. 3.1. Непрерывно начисляемый процент для 6-месячной ставки R=200%


Еще одно предположение, используемое при выводе формулы стоимости опциона, состоит в том, что за время существования опциона процентная ставка r будет постоянной. Принципиально рассуждения не меняются, если считать, что будущая динамика процентной ставки r в этот период заранее известна.

Вообще говоря, непрерывно начисляемый процент применяется и в тех случаях, когда предположение (3.1) о временной структуре процентных ставок не выполняется. Тогда необходимо указывать, для какого периода T задан процент r , представляющий собой просто другую форму записи процента R. Процентные ставки r для различных периодов T легко сравнивать, поскольку большему r соответствует б.льшая годовая эффективная процентная ставка.

3.2. МОДЕЛЬ ДВИЖЕНИЯ ЦЕНЫ БАЗИСНОГО АКТИВА

Для определенности будем говорить об опционах на фьючерсы и обозначать текущую фьючерсную цену символом F , однако под F можно понимать текущую цену любого базисного актива.

Предполагается, что динамика цены базисного актива в течение торговой сессии описывается некоторым непрерывным случайным процессом, причем и между сессиями скачков цены не происходит. Не вдаваясь в математические подробности, связанные с корректным представлением непрерывных случайных процессов, примем более простое и наглядное описание цены как дискретного процесса с некоторым временным шагом τ: F0 =F, F1, F2, ..., Fm. Шагом может быть один день, одна неделя, один час, 15 мин и т.д. Шаг будет выражаться в долях года, причем поскольку процесс «существует» только в течение торговых сессий, то 1 год считается равным в среднем 252 рабочим дням, и если, например, шаг по времени равен одному дню (типичный случай), то


τ = 1 / 252.
Дискретная модель движения цены описывается уравнением

      (3.3)

где слева стоит относительное изменение цены, а справа:

µ - средняя скорость тренда цены, выраженная как простой годовой процент;

σ - волатильность (volatility);

ξ1,  ξ2, ... , ξm - последовательность гауссовских независимых случайных величин с нулевым средним и единичной дисперсией.

Первое слагаемое справа при отсутствии второго и достаточно малом интервале τ задает экспоненциальный рост или снижение цены по формуле


F(tk) = Fk = Feµtk,       (3.4)


где tk = kτ что имеет аналогию с выражениями предыдущего раздела при замене r на µ. Второе слагаемое описывает случайные колебания цены относительно траектории ее среднего роста или снижения. Разброс случайных возмущений ξi стандартизован и определяется единичной дисперсией, а влияние их на цену регулируется параметром σ. Таким образом, модель (3.3) содержит как прогнозируемую составляющую изменения цены, так и ее непредсказуемые колебания, а волатильность является характеристикой размаха этих колебаний. Волатильность обычно указывается в процентах. Типичными значениями . на товарных и фондовых рынках являются 15 - 30% и более.

Модель (3.3) при 0 → τ переходит в модель непрерывного изменения цены, которая в некотором отношении проще, так как дает более компактные результаты. Если использовать эту модель для прогноза цены в определенный будущий момент t , то F(t) имеет так называемое логнормальное распределение со средним


а разброс цены относительно среднего характеризуется среднеквадратическим отклонением (СКО)


Последняя аппроксимация тем точнее, чем меньше по сравнению с Логнормальное распределение, в отличие от нормального, несимметрично и целиком лежит в положительной области. Чем меньше по сравнению с , тем ближе логнормальное распределение к нормальному со средним и СКО σ F(t) . Поэтому в первом приближении вероятность того, что F (t) окажется в определенном интервале с центром , может быть определена на основании хорошо известных свойств гауссовского распределения.


3.3. ТИПЫ ВОЛАТИЛЬНОСТИ

В главе 5 будет показано, что парадоксальным на первый взгляд образом теоретическая стоимость опциона не зависит от скорости тренда µ цены базисного актива. Для оценки стоимости опциона важно спрогнозировать волатильность цены базисного актива σ в будущий период до момента экспирации опциона. Различают 4 типа волатильности:

  • истинную будущую волатильность;
  • историческую волатильность (historical volatility);
  • прогноз на определенный будущий период;
  • опционную волатильность4 (implied volatility).

    Истинная будущая волатильность - это то, что хотелось бы знать сегодня, но что станет известно только по прошествии данного периода.

    Историческая волатильность определяется по ценам базисного актива в некоторый предшествующий период времени. Для того чтобы получить оценку параметров µ, σ по дискретному набору цен базисного актива F0= F, F1, F2, ..., Fm , необходимо определить относительные изменения цены за период .


    рассчитать среднюю скорость тренда


    а затем вычислить оценку волатильности для периода τ


    Используя обычную терминологию, можно сказать, что волатильность δ - это СКО случайных величин u1, u2, ..., um. Оценки коэффициентов µ, σ получаются нормированием:


    Для прогнозирования волатильности часто используется следующий прием. Задавшись некоторой шириной окна w , например, в 20 точек (20 рабочих дней или 1 месяц), «скользят» этим окном по имеющейся записи цены базисного актива. Для попадающих в окно точек определяются µ и σ, которые отображаются на графике для даты, являющейся правым краем окна (то есть процедура построения этих графиков аналогична построению графика скользящего среднего, применяемого в техническом анализе). Эти данные могут быть использованы в качестве ориентира для прогнозирования волатильности на будущий период. При этом рекомендуется сначала выбрать ширину окна w порядка длины прогнозируемого периода, а затем проанализировать графики для других значений этого параметра. Как и при прогнозе динамики цены базисного актива, для предсказания волатильности привлекается разнообразный арсенал методов фундаментального и технического анализа, а также то, что можно назвать «чувством рынка».

    Одним из наблюдений о поведении волатильности базисных активов на относительно стабильных западных рынках является возврат к среднему (reversion to the mean). Различные базисные активы характеризуются средними значениями волатильности, которые являются весьма устойчивыми в том смысле, что графики исторической волатильности на длительном временном интервале испытывают колебания вверх и вниз относительно этих средних значений.

    О последнем виде волатильности речь подробно пойдет в главе 10, однако здесь определить ее можно как расчетный параметр, который необходимо подставить в формулу для теоретической стоимости опциона, чтобы при фиксированных остальных параметрах (цене базисного актива, страйке, времени до экспирации, процентной ставке) получить заданное значение премии. Иными словами, если прямое назначение теоретических формул - давать стоимость опциона в зависимости от различных ценообразующих факторов, то для определения опционной волатильности необходимо решить обратную задачу - по заданной премии, с которой была совершена реальная сделка, рассчитать соответствующую волатильность. По графикам опционной волатильности также строятся прогнозы, причем возврат к среднему здесь тоже имеет место.

    3.4. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ ВОЛАТИЛЬНОСТИ EWMA, GARCH

    Если в (3.7) положить u = 0 и использовать упрощенный вариант этой формулы:


    то отличие результатов, как правило, пренебрежимо мало. Отдельные наблюдения ui2 в (3.9) суммируются с одинаковыми весами. Обобщением этого выражения является


    где


    а величина V имеет смысл долговременного среднего для величины δ2 и вводится для учета тенденции возврата волатильности к среднему. Для того чтобы точнее отслеживать динамику волатильности, недавним наблюдениям ui2 обычно придается больший вес, чем отстоящим дальше по времени от текущего момента. Одним из наиболее часто упоминаемых и используемых в настоящее время способов оценки волатильности является GARCH (generalized autoregressive conditional heteroscedasticity), в котором используется рекуррентный вариант соотношения (3.10). Предположим, что с течением времени в каждый дискретный момент tk вычисляется своя оценка волатильности δk2 В наиболее распространенном методе GARCH(1,1) по оценке δk-12 и последнему наблюдению ui2 новая оценка δk2 вычисляется следующим образом


    где γ, β, α - постоянные положительные коэффициенты, α < 1. Если предположить, что имеется бесконечная предыстория наблюдений ui2 , то эта рекуррентная формула может быть последовательно преобразована в выражение:


    Нетрудно видеть, что (3.11) в данном случае эквивалентно тому, что γ + β + α = 1.

    Обобщением GARCH(1,1), называемым GARCH(p,q), является выражение вида (3.12), куда входят


    однако такие выражения используются реже.

    Частным случаем GARCH(1,1) является метод EWMA (exponentially weighted moving average), в котором γ = 0 , то есть не учитывается возврат к среднему. В системе оценки рыночного риска RiskMetrics, разработанной J.P.Morgan, волатильности вычисляются методом EWMA с α = 0.94 , β = 0.06. Эти параметры были выбраны как наилучшие в среднем для всех рынков.

    До сих пор речь шла о вычислении оценки волатильности для текущего момента. Для того чтобы сделать прогноз волатильности на l шагов вперед, в модели GARCH(1,1) следует использовать выражение


    Так как α + β < 1, то по мере увеличения глубины прогноза оценка сходится к V . В EWMA α + β = 1 , поэтому наилучший прогноз просто совпадает с текущей оценкой волатильности.

    Пример 3.1. Проиллюстрируем метод EWMA на примере цены акции РАО «ЕЭС России» на торгах в РТС в «послекризисный» период 01.10.98 - 20.06.02 (рис. 3.2).

    Динамика цены акции РАО «ЕЭС России» на торгах в РТС

    Рис. 3.2. Динамика цены акции РАО «ЕЭС России» на торгах в РТС.



    Историческая волатильность и прогноз методом EWMA c α = 0.99

    Рис. 3.3. Историческая волатильность и прогноз методом EWMA c α = 0.99.

    На рис. 3.3 каждая точка графика «волатильность» означает историческую волатильность, рассчитанную по предшествующему 60-дневному периоду. График «EWMA 0.99» построен методом EWMA с α = 0.99 , при этом каждая точка графика отнесена не к тому моменту, в который она могла бы быть реально рассчитана, а сдвинута вправо (в будущее) на 60 точек. Тем самым для каждого момента изображена истинная волатильность в предшествующий 60-дневный период и ее прогноз методом EWMA.

    Если построить график, подобный рис. 3.3, для α = 0.94, то окажется, что в этом случае EWMA чрезмерно сильно реагирует на последние по времени движения цены и ошибочно прогнозирует их вперед. При α = 0.99. прогноз оказывается лучше, например, по критерию среднего квадрата отклонений прогноза от исторической волатильности.

    Относительно скорости тренда µ на основании рис. 3.2 можно сделать лишь тот вывод, что после начального периода роста цены наступил период бокового тренда, то есть в первом приближении можно считать, что µ = 0 . Если бы рассматривался курс рубля к доллару, то долговременный тренд прослеживался бы более четко.


  • Данная книга содержит базовые сведения о том как происходит расчет и исполнение опционов, так же торговля фьючерсами. В книге вы узнаете что такое: call и put опцион, реальные и синтетические опционы.



    Содержание:
    Предисловие
    Глава 1. Форвардные и фьючерсные контракты
    Глава 2. Опционы - основные определения
    Глава 3. Модель рыночных условий
    Глава 4. Стоимость форвардных и фьючерсных контрактов
    Глава 5. Методы оценки стоимости опционов
    Глава 6. Формула Блэка-Шоулса и ее модификации
    Глава 7. Графики стоимости европейских опционов
    Глава 8. Американские опционы
    Глава 9. Стоимость портфеля. Коэффициенты чувствительности
    Глава 10. Опционная волатильность
    Глава 11. Основные спрэды и комбинации опционов
    Глава 12. Хеджирование
    Глава 13. Гарантийное обеспечение
    Приложение




    На правах рекламы:
    Купить техникума диплом.