Логотип Парус Инвестора
Парусник
Цена деления цифровой шкалы
Справочник

Опционы и Фьючерсы

А. Н. Балабушкин
Май 2004 года
Материал предоставлен Фондовой биржей РТС


ГЛАВА 4. СТОИМОСТЬ ФОРВАРДНЫХ И ФЬЮЧЕРСНЫХ КОНТРАКТОВ

Прежде чем перейти к вопросу о теоретической стоимости опционов, целесообразно рассмотреть более простые форвардные и фьючерсные контракты. Это позволит наглядно продемонстрировать арбитражный подход к определению стоимости производных финансовых инструментов.

Термины цена и стоимость срочного контракта используются в дальнейшем в различных смыслах. Цена - это вполне определенная величина, сложившаяся под влиянием рыночного спроса и предложения, по которой в действительности заключен или может быть заключен контракт. Стоимость - это абстрактная величина, показывающая цену, по которой теоретически должен был бы быть заключен контракт для того, чтобы ни одна из сторон сделки не имела возможности получения арбитражной прибыли. Таким образом, если цена контракта отличается от его стоимости, появляется возможность для арбитража.

Необходимо иметь в виду, что теоретические рассуждения, применяемые при определении стоимости, обычно идеализированы и упрощают реальную ситуацию. На практике для проверки возможности арбитража следует просчитать всю цепочку предполагаемых операций, детально учитывая конкретные обстоятельства: разницу ставок привлечения и размещения, начальную маржу (см. главу 13), резервные средства для выплаты вариационной маржи в случае фьючерсных контрактов и опционов без уплаты премии, порядок налогообложения, комиссионные, налоги и т.п.

4.1. ФОРВАРДНЫЕ КОНТРАКТЫ

Бездивидендная акция

Обозначим текущую цену акции через S , стоимость форвардного контракта на поставку акции со сроком исполнения T - через Fa . Если цена акции удовлетворяет уравнению (3.3) с заменой F на S , то, на первый взгляд, «естественной» ценой форвардного контракта является ожидаемое среднее значение цены акции в момент T , то есть (см. (3.5)). В действительности за теоретическую стоимость форварда принимается


Fa = SerT,       (4.1)

Если реальная форвардная цена не равна стоимости, то существует арбитражная стратегия, позволяющая получать прибыль не в среднем, а гарантированно. Пусть, например, Fa > SerT . Тогда в момент t = T необходимо занять сумму S под процент r, купить акцию и продать форвардный контракт, а в момент T = t получить по форвардному контракту за акцию цену Fa , что по предположению больше возвращаемой в погашение кредита суммы. Данная арбитражная стратегия называется прямым арбитражем (cash and carry arbitrage).

При Fa < SerT используется так называемая короткая продажа акции (short sale), или, иначе, продажа без покрытия. В момент t=0 акция берется в долг, продается по цене S , полученная сумма размещается под безрисковый процент r и одновременно покупается форвардный контракт. В момент T = t акция выкупается по цене Fa и возвращается владельцу, при этом остается прибыль. Этот тип операций называется обратным арбитражем (reverse cash and carry arbitrage). Из-за отсутствия в настоящее время нормативных процедур, допускающих продажу акций без покрытия, схема обратного арбитража реально не применима, однако несколько изменив последовательность рассуждений, к соотношению (4.1) можно прийти на основании понятия квазиарбитража, в котором продажа акции без покрытия не требуется (см. раздел 4.4).

Будем называть доходность операции по покупке базисного актива и одновременной продаже форвардного контракта, при которой фиксируется будущая цена продажи базисного актива, доходностью «спот-форвард» (implied repo rate). В данном случае, если S , Fa - реальные рыночные цены, то простая доходность спот-форвард RF и соответствующая непрерывно начисляемая процентная ставка rF определяются из соотношения



Выше речь шла о том, что при r <> rF . возникают условия для арбитража. Поскольку арбитражная стратегия дает прибыль без всякого риска и тем большую, чем значительнее объемы сделок, при нарушении соотношения (4.1) такие операции должны проводиться очень активно и в силу рыночных механизмов приводить к устранению ценового дисбаланса. Реально в силу различия цен покупки и продажи, ставок привлечения и размещения, а также других факторов в ценах форвардных контрактов возникает «зазор», в котором получение прибыли описанным способом невозможно либо сопряжено с риском.

Дивидендная акция

Пусть по акции в заранее известные моменты T1, T2, ..., Tm < T будут выплачены известные же дивиденды d1, d2, ..., dm соответственно. Тогда форвардный курс дается выражением



приведенная текущая стоимость акции с учетом будущих дивидендов, которые будут выплачены до момента T.
Выражения d1e-rT1, d2e-rT2, ...,dme-rTm представляют собой текущие стоимости будущих дивидендов. Если d1, d2, ..., dm не известны, то не остается ничего лучшего, как использовать прогнозируемые значения.

Рассуждения в данном случае аналогичны. Если Fдив > SдивerT , то в момент 0 = t необходимо занять сумму S , купить акцию и продать форвардный контракт, а в момент T = t получить по форвардному контракту за акцию Fдив . Кроме того, обладание акцией позволит получить дивиденды, которые по мере поступления будут размещаться под процент r. В итоге окончательная сумма на момент T будет равна



что, как нетрудно проверить, больше возвращаемой в погашение кредита суммы.

При Fдив < SrT, как и в случае бездивидендной акции, в момент t = 0 акция берется в долг, продается по цене S , полученная сумма размещается под безрисковый процент r и одновременно покупается форвардный контракт. При этом по мере выплаты дивидендов по акции заемщик акции, проводящий данную операцию, обязан выплачивать кредитору акции дивиденды. Это осуществляется за счет суммы S с начисленными по ней процентами. Так, в момент T1 из суммы SerT1 будет выплачено d1, в момент T2 из суммы (SerT1 - d1)er(T2 - T1) будет выплачено d2 и т. д. В момент t = T акция выкупается по цене Fдив и возвращается кредитору акции, при этом также остается прибыль.

Аналогично определяется форвардный курс купонной облигации, если под d1, d2, ..., dm понимать будущие выплаты по купонам, приходящиеся на период действия форвардного контракта. Особенность купонной облигации заключается в способе ее котировки: объявляемые спот-цены покупки и продажи, а также цены сделок не включают накопленный доход по купону с ближайшей датой погашения. В соответствии с этим расчет форвардного курса начинается с определения полной текущей цены облигации (прибавлением накопленного купонного дохода). Далее применяется формула (4.2), а результат уменьшается на купонный доход, который будет накоплен к моменту исполнения форвардного контракта от момента погашения предыдущего купона.

Валюта

Форвардный курс иностранной валюты Fв определяется аналогично:



где S - текущий спот-курс валюты,
rв - безрисковая процентная ставка по валюте.
При Fв < S(r - rв)T арбитражная прибыль возникает в результате заимствования валюты, конвертации ее в рубли по текущему курсу, размещения рублей под проценты и покупке форвардного контракта. В момент t = T на полученные рубли покупается валюта по форвардному курсу и погашается валютный кредит, при этом остается прибыль. Если Fв > S(r - rв)T , то в описанной процедуре рубли и валюта меняются местами. Таким образом, во всех рассмотренных случаях форвардный курс не зависит от случайных факторов, влияющих на курс акции или валюты в будущем, а полностью определяется известными на текущий момент параметрами. Независимость от будущих значений курса достигается за счет определенных операций, сопровождающих собственно покупку или продажу контракта. Если этих операций не предполагается, например, форвардный контракт покупается или продается в спекулятивных целях, то для оценки его прибыльности необходимо строить прогнозы, в частности, привлекая вероятностные модели типа (3.3).

4.2. ФЬЮЧЕРСНЫЕ КОНТРАКТЫ

Открытие позиций по фьючерсным контрактам влечет за собой ежедневные начисления/списания средств из-за изменения расчетной цены. В разделе 1.3 было показано, что результирующие прибыли/убытки по форвардному и фьючерсному контрактам совпадают, однако при этом не учитывались проценты, которые могут начисляться по текущим остаткам на счетах. Будем считать, что на остаток на счете, образовавшийся к концу дня после корректировки фьючерсных позиций по рынку, к следующему дню начисляется процент. Соответствующая ставка непрерывно начисляемого процента r определяется исходя из однодневного процента. Пусть цена покупки фьючерсного контракта равна Fф , последовательные котировки вплоть до последнего дня торговли контрактом равны F1, ..., Fm, а цена базисного актива на следующий день - день исполнения контракта - равна ST . Предположим, что контракт расчетный. Тогда суммы, которые ежедневно начисляются / списываются по открытой позиции, составляют F1 - Fф, F2 - F1, ..., ST - Fm. Обозначим τ однодневный период, тогда T = mτ. Результирующая сумма по фьючерсной позиции, полученная с учетом ежедневных начислений процентов на остатки на счетах, равна


Это выражение зависит от всей неизвестной заранее траектории изменения фьючерсных расчетных цен, поэтому описанные выше арбитражные стратегии для форвардных контрактов не приводят к такому же гарантированному результату в случае фьючерсных контрактов. Графики прибылей/убытков по форвардному контракту в зависимости от ST (рис. 1.1, 1.2) для фьючерсных контрактов, строго говоря, теряют смысл. В случае фьючерсного контракта можно говорить лишь о локальных однодневных ожидаемых прибылях/убытках в зависимости от расчетной цены следующего дня, при этом график каждый день должен пересекать горизонтальную ось в новой точке - последней расчетной цене контракта. Тем не менее арбитражные стратегии, на которых может быть основана оценка теоретической стоимости фьючерсных контрактов, существуют. Остановимся на этом вопросе подробно, поскольку аналогичные рассуждения применяются и для опционов без уплаты премии. Пусть вначале открывается длинная фьючерсная позиция на M контрактов, в конце дня позиция наращивается до Merτ . (по расчетной цене этого дня), в конце следующего дня - до Me2rτ и т.д. Тогда результирующая сумма оказывается равна


В первой строке умножение на erτ обозначает увеличение остатка на счете из-за процентов, а умножение на ту же величину, но записанную в форме exp(rτ), соответствует увеличению количества контрактов. Результат же зависит только от цены покупки первых M контрактов и цены базисного актива на день исполнения. Предположим, что одновременно с покупкой фьючерсных контрактов покупаются форвардные контракты в количестве Me2rτ по цене Fфор и с той же датой исполнения. Тогда в день исполнения контрактов прибыли/убытки по форвардным контрактам составят M[ST - Fфор]erτ. Сравнение с результатом операции по фьючерсам показывает, что если цены форвардного и фьючерсного контрактов в начальный момент не совпадают, то возможно получение арбитражной прибыли. Например, если фьючерсный контракт дешевле форвардного, то необходимо продать Merτ форвардных контрактов и одновременно купить М фьючерсных контрактов, наращивая впоследствии позицию до Merτ. Результат этой операции будет равен M[Fфор - Fф]erτ>0.

Таким образом, теоретические стоимости фьючерсных контрактов должны определяться теми же выражениями, что и стоимости форвардных контрактов. Еще одним выводом из приведенных рассуждений является то, что для получения одинакового результата количество фьючерсных контрактов в начале операции должно быть меньше, чем форвардных, в erτ раз.

4.3. СОПОСТАВЛЕНИЕ СТОИМОСТИ ЕВРОПЕЙСКИХ ОПЦИОНОВ С УПЛАТОЙ И БЕЗ УПЛАТЫ ПРЕМИИ

Хотя обозначенная в заголовке данного раздела тема не относится непосредственно к теме главы, целесообразно рассмотреть ее в связи с предыдущим разделом. Предположим, что одновременно торгуются два опциона на фьючерс, отличающихся лишь способом расчетов. Текущие цены опционов с уплатой и без уплаты премии обозначим Cфес , Cфеб , их финальную стоимость - CT (она одинакова у обоих опционов). Предполагая, что первоначально покупается Me-rτ. опционов без уплаты премии, а затем повторяется процедура ежедневного наращивания позиции аналогично тому, как это делалось для фьючерсного контракта, получаем, что прибыли/убытки по опциону без уплаты премии также не будут зависеть от траектории котировки и по итогам дня экспирации составят M[CT - Cфеб].

Предположим, что цена опциона с уплатой премии Cфес превышает e-rTCфеб. Продав M опционов с уплатой премии и немедленно получив MCфес , к дню экспирации с учетом процентов на эту сумму имеем MerTCфес, а выплаты по короткой опционной позиции составят MCT . Складывая прибыли/убытки по опциону с уплатой премии с прибылями/убытками по опциону без уплаты премии, получаем в итоге


Таким образом, в этом случае возможно получение арбитражной прибыли. Если феб Cфес < e-rTCфеб, то арбитражная операция заключается в продаже опционов без уплаты премии (и последующем наращивании позиции) и одновременной покупке опционов с уплатой премии на привлеченные под процент r средства. Окончательный результат сводится к тому, что для устранения возможностей арбитража должно выполняться соотношение


Далее будет показано, что формула для Cфес содержит перед всем выражением дисконтирующий множитель e-rT . Наличие в правой части (4.4) компенсирующего множителя приводит к тому, что Cфеб не зависит от процентной ставки. Еще одно объяснение этому, менее строгое и формальное по сравнению с данными алгебраическими выкладками, будет приведено в разделе 9.2.

4.4. ПРИМЕРЫ

Рассмотрим примеры арбитражных стратегий, описанных в разделе 4.1.

Пример 4.1. На рисунке 4.1 показаны графики цены последней сделки по акции РАО «ЕЭС России» на торгах ММВБ и расчетной цены июньского фьючерса на эти акции в FORTS за период 17.12.01-17.06.02. Будем считать, что непосредственно перед окончанием торговой сессии можно одновременно провести сделки по акциям и фьючерсам по указанным ценам. В качестве цены акции в последний день торгов фьючерсом (14.06.02) возьмем средневзвешенную цену, то есть цену, по которой происходит исполнение фьючерсного контракта. Рассмотрим следующую операцию:

  • 17.12.01 – покупка 1000 акций по цене 4485 за пакет и продажа одного фьючерса по цене 4695;
  • 14.06.02 – продажа акций по средневзвешенной цене 4135 с потерями в размере 4485-4135=350 рублей;
  • 17.06.02 - исполнение фьючерсного контракта по цене 4135 с получением суммарной вариационной маржи 4695-4135=560 рублей.

    Таким образом, вначале инвестировано 4485 рубля – стоимость пакета акций, а результат составил 4135+560=4695 рублей – цену фьючерса. Поскольку начальная и конечная стоимости портфеля фиксированы, то операция эквивалентна покупке бескупонной облигации с исполнением 17.06.02. Полученной комбинации можно дать условное название синтетической облигации (СО).

    Формирование синтетической облигации

    Рис. 4.1. Формирование синтетической облигации


    На рисунке схематично показано также, как меняется стоимость СО в промежуточные моменты (пунктирная линия). Разность между фьючерсной ценой и ценой базисного актива на спот-рынке называется базисом. По мере уменьшения базиса цена синтетической облигации, то есть

    цена СО = текущая цена пакета акций + суммарная вар. маржа,
    приближается к начальной цене фьючерса (target price)

    Для того чтобы спланировать досрочное завершение операции, то есть продажу пакета акций и закрытие фьючерсной позиции в один из дней до 14.06.02, необходимо спрогнозировать базис на этот день. В первом приближении базис убывает линейно с течением времени, однако поскольку заранее эта величина точно не известна, возникает неопределенность – остаточный риск, который называется риском базиса. Обычно этот риск существенно меньше риска изменения стоимости пакета акций как такового, без фьючерсов, что наглядно демонстрирует рис. 4.2, построенный по ценам акции РАО «ЕЭС России» и фьючерса с исполнением 17.06.02. Использование производных инструментов для уменьшения риска называется хеджированием – об этом подробнее в гл. 12.


    Формирование синтетической облигации

    Рис. 4.2. Формирование синтетической облигации



    Доходности спот-фьючерс и ГКО

    Рис. 4.3. Доходности спот-фьючерс и ГКО


    Доходность операции при сохранении позиций до исполнения фьючерсов, названная выше доходность спот-фьючерс, равна


    Реально доходность будет ниже, поскольку под продажу фьючерсных позиций необходимо внести гарантийное обеспечение, а также предусмотреть средства на возможную выплату отрицательной вариационной маржи в случае роста фьючерсной цены. На рис. 4.3 показана доходность RF в случае, если бы операция начиналась в другие дни, в сопоставлении с доходностью ГКО со сроком погашения, близким к дате исполнения фьючерса. Хотя на приведенном графике доходность RF всего лишь в один из дней превышает доходность ГКО, подобные ситуации не редкость (особенно в периоды подъема на рынке акций). В общем случае при таком соотношении доходностей:

  • если можно заимствовать средства по ставке не выше F R , то формирование СО позволит получить арбитражную прибыль;
  • если уже имеются денежные средства и планируется их размещение в безрисковые инструменты, то СО будет более выгодным вложением, чем ГКО;
  • если есть пакет акций и ожидается относительно кратковременное падение цены акции, то вместо продажи пакета и покупки ГКО на этот срок достаточно продать фьючерсы; это выгодно и с точки зрения минимизации комиссионных расходов.

    Реально доходность СО в рассматриваемый период была ниже доходности ГКО. Рассмотрим, как фьючерсы могут быть использованы в такой ситуации для повышения эффективности размещения средств. Изложенную выше процедуру формирования СО символически можно записать как

    «синтетическая облигация» = «акция» - «фьючерс».

    В определенном смысле справедливо и другое соотношение:

    «синтетическая акция» = «ГКО» + «фьючерс».

    Предположим, что исходной позицией является пакет ГКО. Пусть ввиду прогноза роста цен акций принимается решение об инвестировании этих средств в акции РАО «ЕЭС России». Прямой вариант действий состоит в продаже ГКО и покупке акции. В синтетическом способе ГКО сохраняются в портфеле и к ним добавляются длинные фьючерсные позиции.


    Синтетическая покупка акций

    Рис. 4.4. Синтетическая покупка акций


    Результат иллюстрируется рисунком 4.4. Так как по предположению F < S(1+RT), то сумма вариационной маржи по фьючерсу ST - F и результата размещения начальной суммы под фиксированный процент S(1+RT) превысит доход от акции ST - S.

    Рассмотренные операции как для случая переоцененности, так и недооценности фьючерса называются квазиарбитражем. В них благодаря синтетическим схемам достигается б.льшая доходность по сравнению с альтернативными вариантами, в которых фьючерсы не используются. Теоретически, на эффективном рынке такие дисбалансы цен и процентных ставок должны быстро устраняться. Реально, однако, цены фьючерсов в значительной степени формируются со спекулятивной точки зрения - как прогноз будущей цены базисного актива. Именно поэтому недо- или переоцененность фьючерсов может иметь столь сильно выраженный и длительный по времени характер, как на последней диаграмме.


    Пример 4.2. Следующий пример демонстрирует краткосрочные арбитражные операции между рынком спот и фьючерсным. На рис. 4.5 показаны графики цены акции РАО «ЕЭС России» и фьючерса с исполнением 15.03.02, взятые с 10-минутным интервалом. Непосредственно видно, что, как и на рис. 4.2, цены движутся практически параллельно, а значит, спекулятивные операции только на фьючерсах или только на акциях будут давать приблизительно одинаковые результаты. Отличие состоит в том, что спекуляции на фьючерсах технически проще и выгоднее по следующим причинам:

  • в то время как занятие короткой позиции по акциям (продажа без покрытия, short selling) требует заимствования акций, покупка и продажа фьючерса – симметричные и одинаково простые операции;
  • маржинальная торговля акциями сопряжена для клиента брокерской фирмы с выплатой процентов по суммам, на которые брокер кредитует клиента, тогда как при покупке или продаже фьючерса клиенту достаточно внести начальную маржу порядка 15% от стоимости контракта, и никаких дополнительных средств не требуется.

    Кроме того, с течением времени цены фьючерса и акции имеют тенденцию сближаться, то есть базис – превышение цены фьючерса над ценой спот рынка – уменьшается. По этой причине на падающем рынке движение цены фьючерса, как правило, будет несколько большим, чем цены акции.


    Цена пакета 1000 акций РАО «ЕЭС России» и мартовского фьючерса

    Рис. 4.5. Цена пакета 1000 акций РАО «ЕЭС России» и мартовского фьючерса


    Как было показано выше, теоретическая стоимость фьючерсного контракта равна F0 = S0(1+RT), соответственно, теоретическое значение базиса на момент начала операции равно F0 - S0= S0RT.
    Возможности краткосрочных арбитражных операций "спот-фьючерс"

    Рис. 4.6. Возможности краткосрочных арбитражных операций "спот-фьючерс"



    Доходность "спот-фьючерс"

    Рис. 4.7. Доходность "спот-фьючерс"


    Из рис. 4.6 следует, что колебания фактического базиса являются достаточно существенными для того, чтобы представлять интерес для арбитражеров, поскольку спрэды в ценах покупки и продажи акций и фьючерсов, а также комиссионные сборы в сумме не превышают нескольких рублей. При этом теоретический базис действительно может служить ориентиром для оценки того, является ли реальный базис завышенным или заниженным. В случае завышенного базиса следует занимать короткую позицию по фьючерсу и длинную по акциям, а в случае заниженного - противоположные позиции.


    Пример 4.3. Рассмотрим доходность операции конвертации рублей в доллары США по курсу S , покупки валютной облигации с простой годовой доходностью доходностью Rв и сроком погашения T , и одновременно продажи фьючерсов на доллар США по цене F с тем же сроком исполнения. Если начальная рублевая сумма равна V , то количество рублей в результате операции равно



    где RF - доходность спот-фьючерс. Рублевая доходность всей цепочки составляет



    В терминах непрерывно начисляемых процентных ставок это соотношение записывается особенно просто:]


    Теоретически, эта доходность должна быть равна доходности рублевой облигации с тем же сроком погашения.

    В качестве примера сопоставим указанные доходности для каждого из дней в период 3.08.98 – 14.08.98, непосредственно предшествовавший замораживанию ГКО-ОФЗ и девальвации рубля. На рисунке 4.7 показаны следующие величины:

  • ВВЗ - простая годовая доходность облигации внутреннего валютного займа третьего транша с датой погашения 14.05.99;
  • «спот-фьючерс» – доходность, рассчитанная по соотношению курса доллара и цены фьючерса с исполнением 17.05.99;
  • ГКО – полусумма простых годовых доходностей выпусков ГКО 21116 и 21117 с датами погашения 12.05.99 и 19.05.99 соответственно;
  • «спот-ВВЗ-фьючерс» – простая годовая доходность цепочки операций, описанных выше.


    Доходности «спот-фьючерс» и ГКО

    Рис. 4.8. Доходности «спот-фьючерс» и ГКО


    Рассматриваемый период характеризовался активным и порою лихорадочным сбросом российских облигаций, как рублевых, так и валютных, поэтому в данной динамичной и неравновесной ситуации трудно ожидать точного выполнения соотношения (4.5). Тем не менее кривые 3 и 4 достаточно близки и изменяются синхронно.


  • Данная книга содержит базовые сведения о том как происходит расчет и исполнение опционов, так же торговля фьючерсами. В книге вы узнаете что такое: call и put опцион, реальные и синтетические опционы.



    Содержание:
    Предисловие
    Глава 1. Форвардные и фьючерсные контракты
    Глава 2. Опционы - основные определения
    Глава 3. Модель рыночных условий
    Глава 4. Стоимость форвардных и фьючерсных контрактов
    Глава 5. Методы оценки стоимости опционов
    Глава 6. Формула Блэка-Шоулса и ее модификации
    Глава 7. Графики стоимости европейских опционов
    Глава 8. Американские опционы
    Глава 9. Стоимость портфеля. Коэффициенты чувствительности
    Глава 10. Опционная волатильность
    Глава 11. Основные спрэды и комбинации опционов
    Глава 12. Хеджирование
    Глава 13. Гарантийное обеспечение
    Приложение




    На правах рекламы: