Логотип Парус Инвестора
Парусник
Цена деления цифровой шкалы
Справочник

Опционы и Фьючерсы

А. Н. Балабушкин
Май 2004 года
Материал предоставлен Фондовой биржей РТС


ГЛАВА 5. МЕТОДЫ ОЦЕНКИ СТОИМОСТИ ОПЦИОНОВ

5.1. «ВЕРОЯТНОСТНЫЙ» ПОДХОД

В разделе 4.1 было упомянуто, что если фьючерс на бездивидендную акцию покупается или продается в спекулятивных целях с намерением сохранять позицию до дня исполнения, то следует ориентироваться на ожидаемое среднее цены акции в день исполнения SeµT . Тем не менее, как было показано, теоретическое значение фьючерсной цены определяется не из вероятностных, а из арбитражных соображений и оказывается равно SerT. Рассмотрим первый - «вероятностный» - подход применительно к опционам. Как и ранее, будем считать, что модель движения цены базисного актива описывается уравнением (3.3) с известными параметрами.

Рассмотрим европейский опцион колл на акцию. Предположим, что купив опцион и уплатив премию, покупатель не собирается предпринимать никаких других операций с опционами или базисным активом вплоть до даты экспирации опциона, а затем исполнить или не исполнять опцион в зависимости от цены акции. Пусть текущая цена акции равна S0 = S и ожидаемая динамика цены акции описывается уравнением (3.3) с заменой F на S . Если параметры µ и σ модели известны, то можно определить ожидаемое вероятностное распределение цены акции в любой будущий момент, в том числе в день экспирации, а значит, и распределение финальной стоимости опциона CT (см. (2.1)).

Предположим, что сделка по опциону заключается многократно, затем случайным образом реализуется одна из траекторий цены акции и в результате становится известной величина CT. Если усреднить эти величины и допустить, что по условиям контракта покупатель обязан уплатить продавцу фиксированную премию не в день заключения контракта, а в день экспирации, то рассчитанное вероятностным способом среднее является «естественной» справедливой ценой опциона, поскольку шансы покупателя и продавца получить прибыль или понести убытки в этом случае равны.

Обозначим эту среднюю величину Cаес(T) , где T - момент экспирации опциона. Усреднение указанных сумм приводит к следующему результату:



N(x) - функция стандартного нормального распределения:



Формула для Pаес(T) получается аналогично усреднением возможных исходов. При этом оказывается, что Pаес(T) и Cаес(T) связаны следующим соотношением:



Для того чтобы пересчитать Cаес(T), Pаес(T) к моменту заключения контракта, необходимо использовать дисконтирующий множитель (3.2). Например, для опциона колл окончательный результат имеет вид:



Как следствие получаем, что стоимости опционов колл и пут на одном страйке удовлетворяют тождеству:


Связь между стоимостями этих же опционов можно получить другим, более простым способом. Предположим, что в момент t = 0 имеются два портфеля. Первый содержит длинную позицию по опциону колл на страйке E и сумму денег Ee-rT , второй - длинную позицию по опциону пут на том же страйке E и акцию. В момент экспирации опциона стоимость первого портфеля равна max[E , ST], где ST - стоимость акции при t = T . Действительно, первоначальная сумма денег с учетом процентов оказывается равна E , а опцион дает CT = max[ST - E,0 ], что в сумме составляет указанное выражение. Стоимость второго портфеля к этому моменту также оказывается равна этой величине, поскольку если ST>= E, то портфель состоит из акции, а если ST< E, то опцион пут исполняется и акция продается за E .

Так как на момент экспирации стоимости порфелей одинаковы, то и в начальный момент они должны быть равны, иначе возможен арбитраж. Например, если первый портфель дороже второго, то необходимо (начиная с «нуля») продать опцион колл и занять сумму Ee-rT. По предположению, полученной премии и занятой суммы будет с избытком хватать на покупку второго портфеля.

К выводу о равенстве начальной стоимости портфелей можно прийти и другим путем: если из двух портфелей, стоимость которых в будущем обязательно сравняется, один дешевле, то спрос будет сосредоточен на этом портфеле, пока их стоимости не выровняются.

Таким образом, в момент t = 0 стоимости портфелей должны совпадать, то есть



Это соотношение называется пут-колл паритетом (put-call parity).

Перепишем пут-колл паритет в виде


Расхождение между (5.4) и (5.6) показывает, что одна из формул неверна. Так как вторая из них основана на простых арбитражных рассуждениях и не вызывает сомнений, то первый способ получения формулы стоимости опционов следует признать ошибочным.

Метод Блэка-Шоулса, рассматриваемый ниже, исходя из той же модели движения цены (3.3), дает результаты для стоимости опционов, совместимые с пут-колл паритетом. В отличие от «статичной» стратегии покупки (продажи) опциона и пассивного ожидания даты экспирациии, подход Блэка-Шоулса предполагает проведение операций с базисным активом на протяжении всего периода существования опциона и как бы заменяет один «большой» спор непрерывной серией «маленьких» - относительно величины локального, скажем, однодневного изменения цены базисного актива. При этом окончательный результат оказывается инвариантным к конкретной траектории цены базисного актива и зависит лишь от одной обобщенной характеристики траектории - волатильности. Можно сказать, что подход Блэка-Шоулса уменьшает неопределенность, насколько это возможно, и максимально приближает «вероятностную» стратегию к «арбитражной».

Тем не менее статичные опционные стратегии также применяются, и для них соотношения (5.1), (5.3), (5.4) имеют смысл с тем замечанием, что использование в (5.3) для дисконтирования безрисковой процентной ставки r неправильно, поскольку результат операции носит неопределенный характер. Распределение случайной величины CT является дискретно-непрерывным (рис. 5.1): имеется некоторая вероятность P1 того, что CT будет равно нулю (если ST окажется меньше или равно страйку E ), а для положительных CT распределение «размыто». Чем больше возможное отклонение CT от среднего Cаес(T) , то есть чем выше неопределенность в исходе, тем выше для покупателя должна быть ожидаемая средняя доходность операции - на уровне других инвестиций с тем же риском. Исходя из этой доходности в (5.3) и должен выбираться дисконтирующий множитель. Продажу опциона можно интерпретировать как получение кредита под процент, который становится известен только в момент T. Соответственно, для компенсации этого риска цена продажи должна быть выше (5.3). Расхождение цен покупки и продажи не исключает возможностей для сделок, поскольку индивидуальные оценки параметров µ, σ, а также ставки привлечения и размещения различны.

Функция N(x) (5.2) будет постоянно встречаться в дальнейшем. Она является одной из встроенных функций Excel. Для тех, кто пользуется другими программными средствами, ниже приведена одна из ее возможных аппроксимаций в виде функции языка C, определяющей N(x) точностью до 7 знака после запятой.

Распределение S<sub>T</sub> и финальная стоимость опциона C<sub>T</sub>

Рис. 5.1. Распределение ST и финальная стоимость опциона CT


5.2. БИНОМИАЛЬНЫЙ МЕТОД

Биномиальный метод, называемый также по имени его авторов методом Кокса-Росса-Рубинштейна (Cox-Ross-Rubinstein), был предложен в 1979 году и является более поздним по отношению к методу Блэка- Шоулса (1973). Однако начинать знакомство с подходами к оценке опционов лучше именно с более простого биномиального метода. В определенном смысле он аналогичен численным методам решения дифференциальных уравнений. Первоначально данный подход применялся для расчета стоимостей американских опционов, для которых отсутствует точное аналитическое решение, а впоследствии был распространен на многие более сложные производные инструменты. В настоящее время численные методы наряду с методами статистических испытаний (Монте-Карло) чаще всего используются в моделях обсчета производных инструментов, так как позволяют максимально учесть реальные условия операций с ними.

Модель движения цены

Отправной точкой для биномиального метода является слегка модифицированное уравнение (3.3). Выше уравнение (3.3) использовалось как приближенное описание непрерывного случайного процесса. В биномиальном методе от непрерывного процесса преднамеренно делается шаг назад к уравнению (3.3), в котором под понимаются величины, принимающие только два значения: 1 и -1 (отсюда название метода). Возможные траектории такого процесса схематически изображены на рис. 5.2. При уменьшении шага по времени сетка все более измельчается (раствор сетки - угол наклона крайних лучей - при этом также возрастает из-за множителя в последнем слагаемом (3.3)) и в пределе содержит практически любую непрерывную траекторию, так что биномиальная модель не сужает класс рассматриваемых процессов. В то же время она позволяет выявить «микроструктуру» процесса и выработать определенную стратегию покупателя или продавца опциона.

Рисунок 5.2 именно схематический, так как траектории St должны изображаться экспонентами. Прямолинейные траектории получаются, когда вместо St сетка строится для lnSt , что позволяет получать более эффективные с вычислительной точки зрения алгоритмы.


Траектории движения цены базисного актива

Рис. 5.2. Траектории движения цены базисного актива


Идея метода

Проиллюстрируем этот метод на примере европейского опциона колл на фьючерс с уплатой премии, предполагая пока, что непрерывно начисляемый процент r равен нулю.


Пример 5.1. Пусть необходимо оценить стоимость опциона колл на страйке 5000 за пять дней до экспирации опциона при текущей фьючерсной котировке 5200. Предположим, что на следующий день возможны только Рис. 5.2. Траектории движения цены базисного актива два сценария: котировка может измениться на 100 вниз или на 100 вверх. Возможные траектории показаны на рис. 5.3. Идея биномиального метода состоит в том, чтобы двигаться от дня экспирации опциона в обратном направлении к текущему дню. Предположим, что день экспирации наступил и фьючерсная котировка приняла одно из значений 4700, 4900, 5100, 5300, 5500, 5700. В этом случае сумма, которую получает держатель по одной открытой позиции, точно известна и изображается ломаной. Можно сказать, что в день экспирации цена обязательно совпадает со стоимостью и обе они равны указанной сумме, задаваемой выражением (2.1). Рассмотрим ситуацию за день до экспирации, когда возможными значениями котировки являются 4800, 5000, 5200, 5400, 5600. Если котировка равна 4800, то при любом из двух сценариев следующего дня сумма, полученная по опциону, будет равна 0, поэтому и в узле 4800 необходимо поставить нулевую стоимость опциона. Более интересен узел 5000. Предположим, что в этой ситуации, то есть за день до экспирации и при сложившейся к этому моменту фьючерсной котировке 5000, куплено M опционов. Если котировка фьючерса уменьшится до 4900, то держатель опционов получит 0, а если котировка возрастет до 5100, то полученная сумма окажется равна 100 по каждой открытой позиции. Имеется способ устранить эту неоднозначность, продав одновременно с покупкой опционов фьючерсные контракты в количестве =0.5M. Тогда, как нетрудно проверить, независимо от сценария следующего дня сумма, полученная держателем опционов, будет равна 50M. Действительно, при падении котировки до 4900 по коротким фьючерсным позициям будет получено 100, а при росте котировки по опционам будет получено 100M, но одновременно потеряно 100 по фьючерсам. При указанном выше выборе коэффициента оба исхода приводят к одинаковому результату 50М. Это означает, что стоимость одного опциона составляет 50. Комбинация, состоящая из купленных M опционов и проданных фьючерсов, или противоположная ей - проданные M опционов и купленные фьючерсов - являются частными случаями так называемого безрискового или дельта-нейтрального портфеля.


Расчет стоимости опциона 5000 колл биномиальным методом

Рис. 5.3. Расчет стоимости опциона 5000 колл биномиальным методом


Если цена опциона меньше 50, например, 45, то существует прибыльная арбитражная стратегия: необходимо купить M опционных контрактов за 45M на заимствованные средства, продать фьючерсных контрактов и получить на следующий день гарантированную прибыль в размере (50-45)M=5M. Если цена опциона больше 50, например, 60, то необходимо продать M контрактов за 60M и купить фьючерсных контрактов. Тогда на следующий день при любом сценарии необходимо будет выплатить 50M, получив на этой операции (60-50)M=10M.

Аналогичные рассуждения могут быть проведены для остальных узлов этого уровня, затем узлов более низкого уровня и т. д. В каждом узле помимо стоимости опциона указано также значение в расчете на один контракт. В результате стоимость опциона в начальной точке оказывается равна 225. Если цена опциона отличается от 225, то применимы те же арбитражные рассуждения, что и выше, но в «многоходовом» варианте. Если, например, цена опциона меньше 225, то возможно получение арбитражной прибыли путем покупки M опционов и продажи фьючерсов, где =0.81M для этого узла. В дальнейшем по мере течения времени и в зависимости от того, по какой именно траектории движется фьючерсная котировка, необходимо корректировать объем открытой фьючерсной позиции. При этом, как нетрудно убедиться, теоретическая стоимость портфеля - сумма стоимости опционов и реализованных прибылей/ убытков по открытым фьючерсным позициям - остается на одном уровне 225M. Если, например, фьючерсная котировка движется влево и стоимость опциона падает, то ровно настолько же в портфеле появляется денежных средств за счет вариационной маржи по фьючерсам. Если фьючерсная котировка растет, то растет стоимость опциона, однако именно такую же сумму приходится выплачивать в качестве вариационной маржи. Цена опциона может быть меньше стоимости вплоть до дня, предшествующего экспирации, однако в день экспирации она обязана сравняться со стоимостью, что гарантирует прибыль, размер которой мог быть определен еще в начале операции. Если цена раньше сравнивается с теоретической стоимостью опциона или превышает ее, то в этот день можно закрыть опционные и фьючерсные позиции и получить ту же или большую прибыль.

Описанная стратегия - открытие опционных и противоположных им фьючерсных позиций и последующая коррекция соотношения их объемов в соответствии с текущим коэффициентом (поддержание безрискового портфеля) называется динамическим хеджем, а параметр - коэффициентом хеджа или просто дельтой. Термин хедж (hedge - ограждение от возможных потерь, страховка) используется здесь потому, что независимо от траектории движения фьючерсной котировки стоимость портфеля остается неизменной.

Учет процентных ставок

Выше предполагалось, что непрерывно начисляемый процент r равен нулю. Вернемся к расчету стоимости опциона за день до экспирации в узле 5000, считая для примера, что r=360% (такое утрированно большое значение выбрано из соображений «выпуклости» расчетов). В этом случае стоимость опциона в данном узле должна быть равна 50e-rτ=49.5, где τ=1/365 - однодневный интервал. Если стоимость опциона отличается от указанной, то также применимы арбитражные соображения с учетом того, что деньги на покупку опциона заимствуются, а деньги от продажи размещаются под процент r.

После того как определены стоимости в узлах за день до экспирации, рассчитываются стоимости за два дня до экспирации. Например, в узле 5100 стоимость опциона равна



то есть равняется стоимости опциона без учета процентных ставок, дисконтированной исходя из оставшегося времени существования опциона. Изменяется и коэффициент :



В исходном узле за 5 дней до экспирации стоимость опциона оказывается равна пропорционально уменьшается и коэффициент

При реализации арбитражной стратегии в случае отклонения цены опциона от рассчитанной стоимости для получения «запланированного» результата необходимо, чтобы процентная ставка была постоянной за время существования опциона (либо известной функцией времени - тогда в описанной пошаговой процедуре обсчет каждого слоя ведется по той ставке, которая сложится в соответствующий будущий момент). Возможность ошибки в прогнозе процентных ставок на будущее вносит свой вклад в неопределенность результатов операций с опционами.

Более детальный анализ требует учета различия ставок привлечения и размещения. Пусть трейдер имеет возможность привлекать средства под процент rП = 360% и размещать под процент rP = 180% . Этим ставкам соответствуют начальные стоимости 225e-rПT =214 и 225e-rPT = 220. Предположим, что опцион продается по цене 220. Тогда наилучшим исходом для продавца будет нулевой результат, то есть отсутствие как прибылей, так и убытков. Действительно, если траектория движения фьючерсной цены такова, что даже при возникновении отрицательной вариационной маржи остаток на счете всегда положителен, то на остатки на счете ежедневно будет начисляться процент, исходя из ставки размещения. Поскольку и начальная цена соответствует этой ставке, то стоимость портфеля будет поддерживаться на нулевом уровне. Если, однако, в какие-то моменты будут возникать отрицательные остатки на счетах, то заимствование будет осуществляться под больший процент, и результатом операции будут убытки. Тем самым продажа опциона по цене 220 в лучшем случае позволит остаться «при своих». Аналогичная ситуация возникает при покупке опциона по цене 214. Таким образом, при условии rP < rП в ценах опциона возникает зазор, в котором невозможно получение арбитражной прибыли. В реальной ситуации, кроме того, необходимо учитывать другие факторы, не включенные в этот упрощенный анализ: налоги, комиссионные, начальную маржу и т.п.

Алгоритм расчетов

Для практического применения биномиального метода необходимо более точно, чем это изображено на рис. 5.2, 5.3, формировать сетку движения цены. В соответствии с биномиальным вариантом уравнения (3.3) из начальной точки F0 = F скачок цены через интервал времени τ может быть осуществлен в два положения:


В дальнейшем каждый новый узел становится начальным и процедура расчета узлов повторяется. При движении в обратном по времени направлении теоретическая стоимость опциона в каждом узле и коэффициент дельта для европейского опциона на фьючерс с уплатой премии определяются по формулам


Эти соотношения являются следствием простых геометрических пропорций (рис. 5.4). Количество необходимых фьючерсных позиций -фесk подбирается из тех соображений, чтобы вариационная маржа скомпенсировала различие стоимостей опциона в двух следующих узлах. В результате происходит уравнивание столбиков справа и слева, и «равновесное» значение с учетом дисконтирования дает стоимость опциона Cфесk .

Построение ∆-нейтрального портфеля

Рис. 5.4. Построение ∆-нейтрального портфеля


Случай опциона на акцию отличается тем, что фьючерсная позиция заменяется на покупку или продажу без покрытия определенного количества акций. При этом различие методов расчета по фьючерсам и акциям вносит определенные коррективы в способ расчета стоимости опциона и коэффициента ∆ в каждом узле. Аналогичное замечание относится к опционам на валюту. Результаты имеют следующий вид:

  • для бездивидендной акции Cаесk, ∆аесk определяются аналогично вышеприведенным выражениям с заменой фьючерсной котировки F на цену акции S и параметра p на


  • для валюты



    где S обозначает курс валюты.

Для того чтобы биномиальным методом получить стоимость опциона пут, необходимо лишь изменить граничное значение на дату экспирации: вместо стоимости опциона колл CT использовать стоимость опциона пут PT.

Во всех трех рассмотренных случаях оказывается, что результирующие выражения для теоретической стоимости опционов колл и пут в начальном узле допускают аналитическую, хотя и довольно громоздкую, запись. При этом выявляется принципиально важное обстоятельство: если измельчать сетку, то есть уменьшать τ, то в предельных выражениях коэффициент сноса µ отсутствует. Тем самым теоретическая стоимость опциона не зависит от µ, о чем было упомянуто выше. Механизм «выпадения» µ из окончательных формул далеко не столь очевиден, как, например, причины отсутствия µ в выражении для стоимости форвардного контракта (4.1). Не прибегая к формальным доказательствам, можно лишь отметить, что это является следствием ∆-нейтральности (безрисковости) портфеля, в силу которой направление изменения цены базисного актива оказывается безразличным. Поскольку биномиальная модель движения цены тем точнее описывает непрерывное изменение цены, чем меньше τ, то в действительности интерес представляет именно предельное выражение. При этом коэффициент µ с самого начала не учитывают при расчетах, а здесь его присутствие обусловлено лишь логикой получения результата - таким образом, в выражениях данного раздела необходимо положить µ=0.

Практически биномиальный метод, конечно, не имеет смысла применять в рассмотренных трех случаях, так как имеются компактные аналитические результаты. Смысл появляется, например, при расчете цен американских опционов. Соответствующие поправки к алгоритму расчетов будут даны ниже. Интересно, что идея биномиального метода может быть применена в ситуациях, далеких от торговли опционами.


Данная книга содержит базовые сведения о том как происходит расчет и исполнение опционов, так же торговля фьючерсами. В книге вы узнаете что такое: call и put опцион, реальные и синтетические опционы.



Содержание:
Предисловие
Глава 1. Форвардные и фьючерсные контракты
Глава 2. Опционы - основные определения
Глава 3. Модель рыночных условий
Глава 4. Стоимость форвардных и фьючерсных контрактов
Глава 5. Методы оценки стоимости опционов
Глава 6. Формула Блэка-Шоулса и ее модификации
Глава 7. Графики стоимости европейских опционов
Глава 8. Американские опционы
Глава 9. Стоимость портфеля. Коэффициенты чувствительности
Глава 10. Опционная волатильность
Глава 11. Основные спрэды и комбинации опционов
Глава 12. Хеджирование
Глава 13. Гарантийное обеспечение
Приложение




На правах рекламы:
В статье Фьючерсы это можно более полно узнать о фьючерсах ; Оценочная экспертиза. Узнать стоимость